В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 28, АС = 56, точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.
РЕШЕНИЕ:
1. АЕ — диаметр описанной окружности.
АЕ перпендикулярен ВМ (по условию ВD перпендикулярна АО)
Р — точка пересечения диаметра и хорды, значит,
РВ = РМ.
2. Рассмотрим треугольник ВАМ. Он равнобедренный, так как АР является высотой (по условию ВD перпендикулярна АО) и медианой (РВ = РМ — доказано выше).
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Угол АВМ = углу АМВ.
3. Угол АСВ = углу АМВ, так как оба они являются вписанными в окружность и опираются на общую дугу АВ.
Поскольку АВМ = углу АМВ (см выше), а угол АМВ = углу АСВ, то
угол АСВ = углу АВМ
4. Угол АВD совпадает с углом АВМ, то есть они равны.
Видим, что треугольник АВD подобен треугольнику АСВ по двум углам:
угол АСВ = углу АВD,
угол при вершине А — общий.
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
АВ/АС = АD/АВ
Подставляем значения длин сторон АВ и АС из условия:
28/56 = АD/28
АD = 28*28 : 56 = 28 * 1 : 2 = 14
Отсюда DC = АС — АD = 56 – 14 = 42
Ответ: 42