В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 28, АС = 56, точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.

Задание 25 Вариант 6-2025

РЕШЕНИЕ:

1. АЕ — диаметр описанной окружности.

АЕ перпендикулярен ВМ (по условию ВD перпендикулярна АО)

Р — точка пересечения диаметра и хорды, значит,

РВ = РМ.

2. Рассмотрим треугольник ВАМ. Он равнобедренный, так как АР является высотой (по условию ВD перпендикулярна АО) и медианой (РВ = РМ — доказано выше).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Угол АВМ = углу АМВ.

3. Угол АСВ = углу АМВ, так как оба они являются вписанными в окружность и опираются на общую дугу АВ.

Поскольку АВМ = углу АМВ (см выше), а угол АМВ = углу АСВ, то

угол АСВ = углу АВМ

4. Угол АВD совпадает с углом АВМ, то есть они равны.

Видим, что треугольник АВD подобен треугольнику АСВ по двум углам:

угол АСВ = углу АВD,

угол при вершине А — общий.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

АВ/АС = АD/АВ

Подставляем значения длин сторон АВ и АС из условия:

28/56 = АD/28

АD = 28*28 : 56 = 28 * 1 : 2 = 14

Отсюда DC = АС — АD = 56 – 14 = 42

Ответ: 42