Углы при одном из оснований трапеции равны 77 градусам и 13 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.
РЕШЕНИЕ:
1. Пусть МN = 10 и КР = 11 — отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон трапеции.
Угол А + угол D = 77 + 13 = 90 градусам, значит, эти углы расположены при большем основании АD.
2. Продолжим стороны АВ и DC до их пересечения в точке О.
Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
В треугольнике АОD угол О = 180 -(угол А + угол D) = 180 — 90 =90
Следовательно, треугольник АOD -прямоугольный.
Во всех прямоугольных треугольниках медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
ON = 1/2 AD
3. Медиана в треугольнике делит любой отрезок между сторонами, параллельный стороне, к которой она проведена, пополам.
ВМ = МС.
В прямоугольном треугольнике ВОС ОМ — медиана.
Значит, ОМ = ½ ВС
МN = ON — OM = ½ AD — ½ ВС
МN = ½ (AD — ВС)
MN по условию = 10
10 = ½ (AD — ВС)
AD — ВС = 10*2 = 20
4. КР — средняя линия трапеции.
КР = ½ (AD + ВС)
КР = 11(по условию)
11 = ½ (AD + ВС)
AD + ВС = 11*2 =22
Составим систему уравнений:
Воспользуемся методом сложения:
AD — BC+AD + BC = 42
2 AD = 42
AD = 21
Подставляем в первое уравнение системы:
21 + ВС = 22
ВС = 1
Ответ: 1; 21