Углы при одном из оснований трапеции равны 39 градусам и 51 градусу, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.
РЕШЕНИЕ:
1. Пусть МN = 17 и КР = 19 — отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон трапеции.
Угол А + угол D = 51 + 39 = 90 градусам, значит, эти углы расположены при большем основании АD.
2. Продолжим стороны АВ и DC до их пересечения в точке О.
Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
В треугольнике АОD угол О = 180 -(угол А + угол D) = 180 — 90 =90
Следовательно, треугольник АOD -прямоугольный.
Во всех прямоугольных треугольниках медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
ON = 1/2 AD
3. Медиана в треугольнике делит любой отрезок между сторонами, параллельный стороне, к которой она проведена, пополам.
ВМ = МС.
В прямоугольном треугольнике ВОС ОМ — медиана.
Значит, ОМ = ½ ВС
МN = ON — OM = ½ AD — ½ ВС
МN = ½ (AD — ВС)
MN по условию = 17
17 = ½ (AD — ВС)
AD — ВС = 17*2 = 34
4. КР — средняя линия трапеции.
КР = ½ (AD + ВС)
КР = 19(по условию)
19 = ½ (AD + ВС)
AD + ВС = 19*2 =38
Составим систему уравнений:
Воспользуемся методом сложения:
AD — BC+AD + BC = 72
2 AD = 72
AD = 36
Подставляем в первое уравнение системы:
36 + ВС = 38
ВС = 2
Ответ: 2; 38