Углы при одном из оснований трапеции равны 80 градусам и 10 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.
РЕШЕНИЕ:
1. Пусть МN = 17 и КР = 20 — отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон трапеции.
Угол А + угол D = 80 + 10 = 90 градусам, значит, эти углы расположены при большем основании АD.
2. Продолжим стороны АВ и DC до их пересечения в точке О.
Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
В треугольнике АОD угол О = 180 -(угол А + угол D) = 180 — 90 =90
Следовательно, треугольник АOD -прямоугольный.
Во всех прямоугольных треугольниках медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
ON = 1/2 AD
3. Медиана в треугольнике делит любой отрезок между сторонами, параллельный стороне, к которой она проведена, пополам.
ВМ = МС.
В прямоугольном треугольнике ВОС ОМ — медиана.
Значит, ОМ = ½ ВС
МN = ON — OM = ½ AD — ½ ВС
МN = ½ (AD — ВС)
MN по условию = 17
17 = ½ (AD — ВС)
AD — ВС = 17*2 = 34
4. КР — средняя линия трапеции.
КР = ½ (AD + ВС)
КР = 20(по условию)
20 = ½ (AD + ВС)
AD + ВС = 20*2 =40
Составим систему уравнений:
Воспользуемся методом сложения:
AD — BC+AD + BC = 74
2 AD = 74
AD = 37
Подставляем в первое уравнение системы:
37 + ВС = 40
ВС = 3
Ответ: 3; 37