В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых АD и АС соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма АВСD.
РЕШЕНИЕ:
1. Площадь параллелограмма равна сумме площадей равных треугольников, на которые его делит диагональ АС:
SАВСD = SABC + SADC
Расстояние от точки О до АС — это отрезок ОР — перпендикуляр к АС и радиус вписанной в треугольник АВС окружности.
Проведем из точки О перпендикуляры ОМ и ОЕ к сторонам АВ и ВС.
ОЕ — продолжение перпендикуляра ОН к стороне АD.
ЕН — высота параллелограмма АВСD.
ОР=ОМ=ОЕ =r = 7
OH = 14
EH = 14 + 7 = 21
2. По теореме Пифагора из треугольника АРО найдем АР.
АР2 =АО2 — ОР2
АР2 =252 — 72
АР2 =625 — 49
АР2 =576
АР = 24
3. Треугольник АОМ = треугольнику АОР, так как АО — обща сторона, ОР=ОМ=r, углы при вершине А равны(АО -биссектриса: О — центр вписанной окружности — лежит на пересечении биссектрис треугольника)
Из равенства треугольников следует равенство сторон: АМ = АР = 24
Треугольник ВОМ = треугольнику ВОЕ, так как ВО — обща сторона, ОЕ=ОМ=r, углы при вершине В равны(ВО -биссектриса: О — центр вписанной окружности — лежит на пересечении биссектрис треугольника)
Из равенства треугольников следует равенство сторон: ВМ = ВЕ
Треугольник СОЕ = треугольнику СОР, так как СО — обща сторона, ОР=ОЕ=r, углы при вершине С равны(СО -биссектриса: О — центр вписанной окружности — лежит на пересечении биссектрис треугольника)
Из равенства треугольников следует равенство сторон: ЕС = СР
4. а) Площадь треугольника АВС найдем по формуле S =1/2аh
S ABC = ½ ВС *ЕН = ½ *ВС*21 = (21/2)*ВС
б) Площадь треугольника АВС также можно найти по формуле:
S = p/2*r (произведение полупериметра р на радиус вписанной окружности, где р =(а+b+c):2)
SАВС = (AB + BC +CA):2 *r
AB = AM+MB
BC = BE+EC
CA = AP+PC
SАВС = (AM+MB + BE+EC + AP+PC):2 *7
Так как ВЕ = ВМ, то ВЕ + ВМ = 2ВЕ
Так как ЕС = РС, то ЕС + РС = 2ЕС.
Тогда: SАВС =(24+2ВЕ+ 2ЕС+24):2*7
SАВС =2*(24+ВЕ+ЕС):2*7
ВЕ+ЕС = ВС
SАВС = 7*(24+ВС)
4. Приравняем два выражения площади треугольника АВС:
7*(24+ВС) =(21/2)*ВС
Раскрываем скобки:
168+7ВС =21ВС/2
Умножаем обе части уравнения на 2
336 + 14ВС = 21ВС
21ВС — 14ВС = 336
7ВС = 336
ВС = 48
5. Теперь можем найти площадь параллелограмма.
SАВСD= BC*EH = 48 * 21 = 1008
Ответ: 1008