Боковые стороны АВ и СD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 29, а основание ВС равно 4. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.
РЕШЕНИЕ: SABCD =h (a+b)/2
1. СВ пересекается с DK в точке М.
2. Угол СМD = углу АDМ (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых МС, АD и секущей МD).
Угол СDМ = углу МDA — по условию (DK — биссектриса).
Значит, угол СМD = углу СDМ, а треугольник МСD — равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.
То есть: МС = СD = 29.
Отсюда: МВ = МС — ВС = 29 — 4 = 25
3. Рассмотрим треугольники АКD и МКВ. Они равны по 2-м углам и стороне:
—углы при вершине К равны как вертикальные;
—АК = КВ по условию;
—угол АВK = углу как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых МС, АD и секущей АВ.
Значит, МВ = АD = 25
4. Проведем СР // АВ.
АВСР — параллелограмм.
АВ = СР = 20
5. ВС = АР = 4
РD = АD — AP = 25 — 4 = 21
По обратной теореме Пифагора ( если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным)
имеем: СD2 = CP2 + PD2
292 = 202 + 212
841 = 400 + 441
841 = 841 — верно.
Вывод: треугольник СРD — прямоугольный, а значит, СР перпендикулярна АD,
СР — высота параллелограмма АВСD.
6. Найдем площадь параллелограмма АВСD.
S = CР* (ВС + АD)/2 = 20*(25+4)/2 = 10*29 = 290
Ответ: 290