Боковые стороны АВ и СD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 10, а основание ВС равно 1. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.
РЕШЕНИЕ: SABCD =h (a+b)/2
1. СВ пересекается с DK в точке М.
2. Угол СМD = углу АDМ (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых МС, АD и секущей МD).
Угол СDМ = углу МDA — по условию (DK — биссектриса).
Значит, угол СМD = углу СDМ, а треугольник МСD — равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.
То есть: МС = СD = 10.
Отсюда: МВ = МС — ВС = 10 — 1 = 9
3. Рассмотрим треугольники АКD и МКВ. Они равны по 2-м углам и стороне:
—углы при вершине К равны как вертикальные;
—АК = КВ по условию;
—угол АВK = углу как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых МС, АD и секущей АВ.
Значит, МВ = АD = 9
4. Проведем СР // АВ.
АВСР — параллелограмм.
АВ = СР = 6
5. ВС = АР = 1
РD = АD — AP = 9 — 1 = 8
По обратной теореме Пифагора ( если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным)
имеем: СD2 = CP2 + PD2
102 = 62 + 82
100 = 36 + 64
100 = 100 — верно.
Вывод: треугольник СРD — прямоугольный, а значит, СР перпендикулярна АD,
СР — высота параллелограмма АВСD.
6. Найдем площадь параллелограмма АВСD.
S = CР* (ВС + АD)/2 = 6*(9+1)/2 = 6*5 = 30
Ответ: 30