Середина М стороны АD выпуклого четырехугольника АВСD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 11, а углы В и С четырехугольника равны соответственно 126 градусам и 99 градусам.

Задание 25 Вариант 37

РЕШЕНИЕ:

1.   Четыре точки равноудаленные от точки М принадлежат окружности с центром в точке М.

Поскольку М лежит на середине стороны АD, то АD — диаметр этой окружности, а отрезки МА, МВ, МС, МD — радиусы.

2.   Четырехугольник АВСD является вписанным в окружность.

 У вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180 градусам.

Угол А + угол С = 180

Угол А = 180 — 99 = 81 градусу

3.   Треугольник АМВ — равнобедренный ( АМ = МВ по условию)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Угол А = углу АВМ = 81 гр.

4.   Треугольник ВМС — равнобедренный (МВ = МС по условию)

Угол МВС = углу ВСМ = угол В — угол АВМ = 126 -81 =45 градусов.

5.  Сумма углов треугольника равна 180 градусам.

 Угол ВМС = 180 — угол МВС — угол ВСМ = 180 — 45 — 45 = 90 градусам.

6.    Диаметр АD = 2R (AM = MD = R)

По теореме синусов:

Задание 25 Вариант 37