Середина М стороны АD выпуклого четырехугольника АВСD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 6, а углы В и С четырехугольника равны соответственно 124 градусам и 116 градусам.

Задание 25 Вариант 35

РЕШЕНИЕ:

1.   Четыре точки равноудаленные от точки М принадлежат окружности с центром в точке М.

Поскольку М лежит на середине стороны АD, то АD — диаметр этой окружности, а отрезки МА, МВ, МС, МD — радиусы.

2.   Четырехугольник АВСD является вписанным в окружность.

 У вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180 градусам.

Угол А + угол С = 180

Угол А = 180 — 116 = 64 градусам

3.   Треугольник АМВ — равнобедренный ( АМ = МВ по условию)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Угол А = углу АВМ = 64 гр.

4.   Треугольник ВМС — равнобедренный (МВ = МС по условию)

Угол МВС = углу ВСМ = угол В — угол АВМ = 124 -64 =60 градусов.

5.  Сумма углов треугольника равна 180 градусам.

 Угол ВМС = 180 — угол МВС — угол ВСМ = 180 — 60 — 60 = 60 градусам.

Видим, что в треугольнике ВМС все углы равны.

Вывод: треугольник ВМС — равносторонний.

То есть, ВМ = МС = ВС =6.

6.  Значит, МВ = МА = МD =6

АD = AM + MD = 6 + 6 = 12

Ответ: 12