Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D — на второй. При этом АС и ВD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Задание 25 Вариант 34

РЕШЕНИЕ:

1.   Проведем радиусы  к точкам касания окружностей с прямой АС (ЕА,  ОС) и к точке касания окружностей (ЕF и OF).

2.   Опустим перпендикуляры:

— из точки А к прямой CD = AM — это будет искомое расстояние;

—из центра меньшей окружности к радиусу ОС большей окружности = ЕN.

3.   Треугольник АМС подобен треугольнику ОNE по двум углам ( угол АМС = углу ОNE    = 90 градусам; угол САМ = углу NEO, поскольку ОЕ//АМ, ЕN//АС.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

АС/ОЕ = АМ/ЕN

Отсюда: АМ = АС * ЕN/ОЕ

ОЕ = 90 + 45 =135

4.   Рассмотрим четырехугольник АЕNC — это прямоугольник (в нем противолежащие стороны параллельны: АС//EN, OC и ЕА перпендикулярны АС, из чего следует, что СN//АЕ).

В прямоугольнике противолежащие стороны равны.

Значит, АЕ = СN = 45,

               AC = EN.

5.    Найдем ОN.

ON = OC — CN = 90 — 45 = 45

6.   В треугольнике ЕNO найдем катет ЕN

 по теореме Пифагора:

Задание 25 Вариант 34