Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D — на второй. При этом АС и ВD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.
РЕШЕНИЕ:
1. Проведем радиусы к точкам касания окружностей с прямой АС (ЕА, ОС) и к точке касания окружностей (ЕF и OF).
2. Опустим перпендикуляры:
— из точки А к прямой CD = AM — это будет искомое расстояние;
—из центра меньшей окружности к радиусу ОС большей окружности = ЕN.
3. Треугольник АМС подобен треугольнику ОNE по двум углам ( угол АМС = углу ОNE = 90 градусам; угол САМ = углу NEO, поскольку ОЕ//АМ, ЕN//АС.
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
АС/ОЕ = АМ/ЕN
Отсюда: АМ = АС * ЕN/ОЕ
ОЕ = 77 + 44 =121
4. Рассмотрим четырехугольник АЕNC — это прямоугольник (в нем противолежащие стороны параллельны: АС//EN, OC и ЕА перпендикулярны АС, из чего следует, что СN//АЕ).
В прямоугольнике противолежащие стороны равны.
Значит, АЕ = СN = 44,
AC = EN.
5. Найдем ОN.
ON = OC — CN = 77 — 44 = 33
6. В треугольнике ЕNO найдем катет ЕN
по теореме Пифагора:
