Четырехугольник АВСD со сторонами АВ = 34 и CD= 22 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ = 60 градусам. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.
РЕШЕНИЕ:
1. Проведем отрезок ВР // АС.
В трапеции АВРС АВ = РС = 34, так как в окружность можно вписать только равнобокую трапецию.
2. Угол СКD = углу АКВ = 60 градусам (как вертикальные)
Угол РВК = углу ВКА = 60 градусам (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВР, АС и секущей ВК).
3. Четырехугольник СРВD вписан в окружность.
У вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180 градусам.
Значит, угол РСD + угол PBD = 180 градусам
Отсюда:
Угол РСD = 180 — угол РВD
Угол РВD = углу РВК = 60 градусам
Угол РСD = 180 — 60 = 120 градусам.
4. По теореме синусов: с2 = а2 + b2 — 2ab* cos C
PD2 = PC2+CD2 — 2*PC*CD*cos 120
PC = 34 (из доказательства), СD = 22(по условию), cos 120 = -1/2
PD2 = 342+222 — 2*34*22*(-1/2) = 1156 + 484 +748 = 2388
