Четырехугольник АВСD со сторонами АВ = 5 и CD = 17 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.
1. Проведем отрезок ВР // АС.
В трапеции АВРС АВ = РС = 5, так как в окружность можно вписать только равнобокую трапецию.
2. Угол СКD = углу АКВ = 60° (как вертикальные)
Угол РВК = углу ВКА = 60 ° (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВР, АС и секущей ВК).
3. Четырехугольник СРВD вписан в окружность.
У вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180°.
Значит, угол РСD + угол PBD = 180°
Отсюда:
Угол РСD = 180° — угол РВD
Угол РВD = углу РВК = 60°
Угол РСD = 180° — 60° = 120°.
4. По теореме синусов: с2 = а2 + b2 — 2ab* cos C
PD2 = PC2+CD2 — 2*PC*CD*cos 120
PC = 5 (из доказательства), СD = 17(по условию), cos 120 = -1/2
PD2 = = 52+172 — 2*5*17*(-1/2) = 25+289 +85 = 399
5. Радиус описанной окружности будем находить по формуле а/sinA = 2R по теореме синусов.