Четырехугольник АВСD со сторонами АВ = 5 и CD= 17 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ = 60 градусам. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Задание 25 Вариант 31

РЕШЕНИЕ:

1.   Проведем отрезок ВР // АС.

В трапеции АВРС АВ = РС = 5, так как в окружность можно вписать только равнобокую трапецию.

2.   Угол СКD = углу АКВ  = 60 градусам (как вертикальные)

       Угол РВК = углу ВКА = 60 градусам (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВР, АС и секущей ВК).

3.   Четырехугольник СРВD вписан в окружность.

У вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180 градусам.

Значит, угол РСD + угол PBD = 180 градусам

Отсюда:

Угол РСD = 180 — угол РВD

Угол РВD = углу РВК = 60 градусам

Угол РСD = 180 — 60 = 120 градусам.

4.   По теореме синусов:  с2 = а2 + b2 — 2ab* cos C

PD2 = PC2+CD2 — 2*PC*CD*cos 120

PC = 5 (из доказательства), СD = 17(по условию), cos 120 = -1/2

PD2 = = 52+172 — 2*5*17*(-1/2) = 25+289 +85 = 399

Задание 25 Вариант 31