В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

РЕШЕНИЕ:

Задание 25 Вариант 3

Опустим из вершин В и С высоты на основание АD. Так же проведем высоту КL через точку пересечения диагоналей трапеции О.

1.Так как по условию трапеция является описанной около окружности, то суммы её противолежащих сторон равны.

То есть: AB + CD = BC + AD

Поскольку по условию АВ = СD , то ВС + AD = 2 AB

Периметр трапеции = BC + AD + 2 AB, а по условию Р = 180

Составим уравнение:

BC + AD + 2 AB = 180

Так как ВС + AD = 2 AB, то

2АВ + 2АВ = 180

4АВ = 180

АВ = 45

2. Площадь трапеции

 \frac{ВС + АD}{2} *h

Если ВС + АD = 2АВ, а S = 1620 (по условию), то

 \frac{ВС + АD}{2} *h

45h = 1620

h = 36

3.  BC + AD = 2AB

AD = AM + MH + HD

BC + AM + MH + HD = 2 *45 = 90

AM = HD (треугольники АВМ и DCH равны по 1-му признаку равенства треугольников: ВМ = СН, АВ = СD, угол АВМ = углу DCH)

MH = BC (MBCH — по построению)

Значит, AM + HD = 2АМ, а MH + BC = 2ВС

Получаем:

2 АМ + 2ВС = 90

2(АМ + ВС) =90

АМ + ВС = 45

ВС = 45 — АМ

АМ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АМВ:

АМ2 = АВ2 — ВМ2

АМ2 = 452 — 362

 АМ2 =2025- 1296

АМ2 = 729

АМ = 27

Тогда ВС = 45 — 27 = 18

4.  Рассмотрим  треугольники ВОС и АОD. Они подобны по двум углам (углы при вершине О равны как вертикальные, угол СВО = углу АDO как накрест лежащие при параллельных прямых ВС, АD и секущей BD)

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон.

ВС : АD = KO : OL

АD = AM + MH + HD = 27 + 18 + 27 = 72

Пусть КО = х, тогда ОL = 36 — x

18 : 72 = х : (36 — х)

По свойству пропорции:

18*(36 — х) = 72*х

Делим обе части равенства на 18

36 — х = 4х

5х = 36

х = 36 : 5

х = 7,2

Ответ: 7,2