В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 18, АС = 36, точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.

Задание 25 Вариант 29

РЕШЕНИЕ:

1.    АЕ — диаметр описанной окружности.

АЕ перпендикулярен ВМ (по условию ВD перпендикулярна АО)

Р — точка пересечения  диаметра и хорды, значит,

РВ = РМ.                         

2.   Рассмотрим треугольник ВАМ. Он равнобедренный, так как АР является высотой (по условию ВD перпендикулярна АО) и медианой (РВ = РМ — доказано выше).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Угол АВМ = углу АМВ.

3.     Угол АСВ = углу АМВ, так как оба они являются вписанными в окружность и опираются на общую дугу АВ.

Поскольку  АВМ = углу АМВ (см выше), а угол АМВ = углу АСВ, то

угол АСВ = углу АВМ

4.      Угол АВD совпадает с углом АВМ, то есть они равны.

Видим, что треугольник АВD подобен треугольнику АСВ по двум углам:

угол АСВ = углу АВD,

угол при вершине А — общий.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

АВ/АС = АD/АВ

Подставляем значения длин сторон АВ и АС из условия:

18/36 = АD/18

АD = 18*18 : 36 =18 *1/2 = 9

Отсюда DC = АС — АD = 36 — 9 = 27

Ответ: 27