В трапеции АВСD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой СD, если AD = 12, ВС = 9.
РЕШЕНИЕ:
Будем находить ЕК
1. Треугольник ВМС подобен треугольнику АМD по двум углам:
Них угол М — общий, а угол МВС = углу МАD = 90 градусам по условию.
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон.
2. Пусть одна часть в нашем пропорциональном соотношении будет равна х.
Тогда ВМ = 3х, а АМ = 4х
По теореме Пифагора найдем стороны МС и МD из прямоугольных треугольников МВС и МАD соответственно.
3. Из точки М выходит секущая МD и касательная МА.
По теореме: если касательная и секущая, проведенные к одной и той же окружности, выходят из общей точки, то квадрат касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.
4. Рассмотрим треугольник ЕМК и АDM:
Угол М — общий, угол MAD = углу МКЕ = 90 градусам по условию.
Вывод: треугольники ЕМК и АDM подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
