Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 9 и МВ = 12. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.

Задание 25 Вариант 24

РЕШЕНИЕ:

1.   Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении,

равном отношению двух прилежащих сторон.

АМ : МВ = АС : ВС = 9 : 12

2. Рассмотрим треугольники DAC и DBC.

У них общий угол D.

 Угол ВАС — вписан в окружность и равен половине дуги ВС:

  Угол ВСD — угол, образованный касательной DC и хордой BC. Он равен половине дуги, расположенной между данными отрезками:

Угол BСD = ½ дуги BС

Значит, угол ВAС = углу BСD

Вывод: треугольники DAC и DBC подобны по двум углам.

3.    Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

DC : DA = DB : DC = 9 : 12

 Из равенства  DC : DA = DB : DC получаем:

DC2 = DA*BD

  Из равенства  DC : DA = 9 : 12  получаем:

АD = 12/9 DC

 4.  По чертежу видим, что

BD = AD — AM — BM

BD = 12/9 DC — 12 — 9 = 12/9 DC — 21

Подставляем в выражение DC2 = DA*BD

DC2 = 12/9 DC *(12/9 DC — 21)

Сократим равенство на DC (разделим обе части уравнения на DC):

DC =12/9(12/9 DC — 21)

DC = 144/81 DC — 252/9

144/81 DC — 81/81DC = 252/9

63/81 DC = 252/9

DC = 36

Ответ: 36