В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

Задание 25 Вариант 2

РЕШЕНИЕ:

Опустим из вершин В и С высоты на основание АD. Так же проведем высоту КL через точку пересечения диагоналей трапеции О.

1.Так как по условию трапеция является описанной около окружности, то суммы её противолежащих сторон равны.

То есть: AB + CD = BC + AD

Поскольку по условию АВ = СD , то ВС + AD = 2 AB

Периметр трапеции = BC + AD + 2 AB, а по условию Р = 120

Составим уравнение:

BC + AD + 2 AB = 120

Так как ВС + AD = 2 AB, то

2АВ + 2АВ = 120

4АВ = 120

АВ = 30

2. Площадь трапеции

S = \frac{ВС + АD}{2} *h

Если ВС + АD = 2АВ, а S = 540 (по условию), то

540 = \frac{2*30}{2}*h

30h = 540

h = 18

3.  BC + AD = 2AB

AD = AM + MH + HD

BC + AM + MH + HD = 2 *30 = 60

AM = HD (треугольники АВМ и DCH равны по 1-му признаку равенства треугольников: ВМ = СН, АВ = СD, угол АВМ = углу DCH)

MH = BC (MBCH — по построению)

Значит, AM + HD = 2АМ, а MH + BC = 2ВС

Получаем:

2 АМ + 2ВС = 60

2(АМ + ВС) =60

АМ + ВС = 30

ВС = 30 — АМ

АМ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АМВ:

АМ2 = АВ2 — ВМ2

АМ2 = 302 — 182

 АМ2 =900-324

АМ2 = 576

АМ = 24

Тогда ВС = 30 — 24 = 6

4.  Рассмотрим  треугольники ВОС и АОD. Они подобны по двум углам (углы при вершине О равны как вертикальные, угол СВО = углу АDO как накрест лежащие при параллельных прямых ВС, АD и секущей BD)

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон.

ВС : АD = KO : OL

АD = AM + MH + HD = 24 + 6 + 24 = 54

Пусть КО = х, тогда ОL = 18 — x

6 : 54 = х : (18 — х)

По свойству пропорции:

6*(18 — х) = 54*х

108 — 6х = 54х

60х = 108

х = 108 : 60

х = 1,8

Ответ: 1,8