В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых АD и АС соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Задание 25 Вариант 19

РЕШЕНИЕ:

1.  Площадь параллелограмма равна сумме площадей равных  треугольников, на которые его делит диагональ АС:

SАВСD = SABC + SADC

Расстояние от точки О до АС — это отрезок ОР — перпендикуляр к АС и радиус вписанной в треугольник АВС окружности.

Проведем из точки О перпендикуляры ОМ и ОЕ к сторонам АВ и ВС.

ОЕ — продолжение  перпендикуляра ОН к стороне АD.

ЕН — высота параллелограмма АВСD.

ОР=ОМ=ОЕ =r = 7

OH = 14

EH = 14 + 7 = 21

2.  По теореме Пифагора из треугольника АРО найдем АР.

АР2 =АО2 — ОР2

АР2 =252 — 72

АР2 =625 — 49

АР2 =576

АР = 24

3.   Треугольник АОМ =  треугольнику АОР, так как АО — обща сторона, ОР=ОМ=r, углы при вершине А равны(АО -биссектриса: О — центр вписанной окружности — лежит на пересечении биссектрис треугольника)

Из равенства треугольников следует равенство сторон: АМ = АР = 24

 Треугольник ВОМ =  треугольнику ВОЕ, так как ВО — обща сторона, ОЕ=ОМ=r, углы при вершине В равны(ВО -биссектриса: О — центр вписанной окружности — лежит на пересечении биссектрис треугольника)

Из равенства треугольников следует равенство сторон: ВМ = ВЕ

Треугольник СОЕ =  треугольнику СОР, так как СО — обща сторона, ОР=ОЕ=r, углы при вершине С равны(СО -биссектриса: О — центр вписанной окружности — лежит на пересечении биссектрис треугольника)

Из равенства треугольников следует равенство сторон: ЕС = СР

4.  а) Площадь треугольника АВС найдем по формуле S =1/2аh

S ABC = ½ ВС *ЕН = ½ *ВС*21 = (21/2)*ВС

      б)  Площадь треугольника АВС также можно найти по формуле:

S = p/2*r (произведение полупериметра р на радиус вписанной окружности, где р =(а+b+c):2)

SАВС = (AB + BC +CA):2 *r

AB = AM+MB

BC = BE+EC

CA = AP+PC

SАВС = (AM+MB + BE+EC + AP+PC):2 *7

Так как ВЕ = ВМ, то ВЕ + ВМ = 2ВЕ

Так как ЕС = РС, то ЕС + РС = 2ЕС.

Тогда: SАВС =(24+2ВЕ+ 2ЕС+24):2*7

SАВС =2*(24+ВЕ+ЕС):2*7

ВЕ+ЕС = ВС

SАВС = 7*(24+ВС)

4.   Приравняем два выражения площади треугольника АВС:

7*(24+ВС) =(21/2)*ВС

Раскрываем скобки:

168+7ВС =21ВС/2

Умножаем обе части уравнения на 2

336 + 14ВС = 21ВС

21ВС — 14ВС = 336

7ВС = 336

ВС = 48

5.  Теперь можем найти площадь параллелограмма.

       SАВСD = BC*EH = 48 * 21 = 1008

Ответ: 1008