На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD = 72, MD = 18, H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

РЕШЕНИЕ:

Задание 25 Вариант 17-2025

1. Проведем высоту ВN.

Прямоугольный треугольник ВNC опирается на диаметр ВС, следовательно он является вписанным в окружность и т. N лежит на окружности.

2. ML — хорда.

Так как ML перпендикулярна диаметру, то МD = DL = 18

3. АМ = AD — MD = 72 — 18 = 54

Тогда AL = AM + MD + DL = 54 + 18 + 18 = 90

4. По теореме о секущих:

AN*AC = AM*AL

AN*AC = 54*90 = 4860

5. Треугольник АNН подобен треугольнику АDC по 2-м углам (угол САD — общий, угол АNН = углу АDC = 90°)

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

AN : АН = АD : АС

AN *АС = АН* АD

АН = AN *АС/АD

Произведение AN*AC = 4860

АН = 4860/72 = 67,5

Ответ: 67,5