Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 13 и МВ = 15. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.
РЕШЕНИЕ:
1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении,
равном отношению двух прилежащих сторон.
АМ : МВ = АС : ВС = 13 : 15
2. Рассмотрим треугольники DAC и DBC.
У них общий угол D.
Угол ВАС — вписан в окружность и равен половине дуги ВС:
Угол ВСD — угол, образованный касательной DC и хордой BC. Он равен половине дуги, расположенной между данными отрезками:
Угол BСD = ½ дуги BС
Значит, угол ВAС = углу BСD
Вывод: треугольники DAC и DBC подобны по двум углам.
3. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
DC : DA = DB : DC = 13 : 15
Из равенства DC : DA = DB : DC получаем:
DC2 = DA*BD
Из равенства DC : DA = 13 : 15 получаем:
АD = 15/13 DC
4. По чертежу видим, что
BD = AD — AM — BM
BD = 15/13 DC — 15 — 13 = 15/13 DC — 28
Подставляем в выражение DC2 = DA*BD
DC2 = 15/13 DC *(15/13 DC — 28)
Сократим равенство на DC (разделим обе части уравнения на DC):
DC =15/13(15/13 DC — 28)
DC = 225/169 DC — 420/13
225/169 DC — 169/169DC = 420/13
56/169 DC = 420/13
DC = 97,5
Ответ: 97,5