Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 13 и МВ = 15. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.

Задание 25 Вариант 13-2025

РЕШЕНИЕ:

1.  Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении,

равном отношению двух прилежащих сторон.

АМ : МВ = АС : ВС = 13 : 15

2. Рассмотрим треугольники DAC и DBC.

У них общий угол D.

Угол ВАС — вписан в окружность и равен половине дуги ВС:

Угол ВСD — угол, образованный касательной DC и хордой BC. Он равен половине дуги, расположенной между данными отрезками:

Угол BСD = ½ дуги BС

Значит, угол ВAС = углу BСD

Вывод: треугольники DAC и DBC подобны по двум углам.

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

DC : DA = DB : DC = 13 : 15

Из равенства DC : DA = DB : DC получаем:

DC2 = DA*BD

Из равенства DC : DA = 13 : 15 получаем:

АD = 15/13 DC

4. По чертежу видим, что

BD = AD — AM — BM

BD = 15/13 DC — 15 — 13 = 15/13 DC — 28

Подставляем в выражение DC2 = DA*BD

DC2 = 15/13 DC *(15/13 DC — 28)

Сократим равенство на DC (разделим обе части уравнения на DC):

DC =15/13(15/13 DC — 28)

DC = 225/169 DC — 420/13

225/169 DC — 169/169DC = 420/13

56/169 DC = 420/13

DC = 97,5

Ответ: 97,5