На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту АD в точке М. AD = 9, MD = 6, H — точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.
РЕШЕНИЕ:
1. Проведем высоту ВN.
Прямоугольный треугольник ВNC опирается на диаметр ВС, следовательно он является вписанным в окружность и т. N лежит на окружности.
2. ML — хорда.
Так как ML перпендикулярна диаметру, то МD = DL = 6
3. АМ = AD — MD = 9 — 6 = 3
Тогда AL = AM + MD + DL = 3 + 6 + 6 = 15
4. По теореме о секущих:
AN*AC = AM*AL
AN*AC = 3*15 = 45
5. Треугольник АNН подобен треугольнику АDC по 2-м углам (угол САD — общий, угол АNН = углу АDC = 90 градусам)
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
AN : АН = АD : АС
AN *АС = АН* АD
АН = AN *АС/АD
Произведение AN*AC = 45
АН = 45/9 = 5
Ответ: 5