На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту АD в точке М. AD = 45, MD = 15, H — точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Задание 25 Вариант 12

РЕШЕНИЕ:

1.  Проведем  высоту ВN.

Прямоугольный треугольник ВNC опирается на диаметр ВС, следовательно он является вписанным в окружность и т. N лежит на окружности.

2.   ML — хорда.

Так как ML перпендикулярна диаметру, то МD = DL = 15

3.   АМ = AD — MD = 45 — 15 = 30

Тогда AL = AM + MD + DL = 30 + 15 + 15 = 60

4.   По теореме о секущих:

AN*AC = AM*AL

 AN*AC = 30*60 = 1800

5.   Треугольник АNН подобен треугольнику АDC по 2-м углам (угол САD — общий, угол АNН = углу АDC = 90 градусам)

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

AN : АН = АD : АС

AN *АС = АН* АD

АН = AN *АС/АD

Произведение AN*AC = 1800

АН = 1800/45 = 40

Ответ: 40