В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты BB1 и CC1 . Докажите, что треугольники АВ1 С1 и АВС подобны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1.
Рассмотрим ∠СС1 В и ∠ВВ1 С.
Они оба прямые (ВВ1 , СС1 — высоты) и опираются на общую гипотенузу
СВ.
Если два вписанных в окружность угла опираются на одну и ту же дугу, то они равны.
Значит, ∠СС1 В и ∠ВВ1 С.являются вписанными, их точки лежат на окружности и около четырехугольника ВВ1 С1 С можно описать окружность.
2.
Рассмотрим ΔС1 АВ1 и Δ АВС.
Углы при вершине А равны как вертикальные.
∠В1 С1 В = ∠ВСВ1 так как являются вписанными в окружность и опираются на общую дугу ВВ1.
Таким образом, ΔС1 АВ1 и Δ АВС подобны по двум углам.
Что и требовалось доказать.