В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА1 и CC1 . Докажите, что треугольники А1 ВС1 и АВС подобны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1.
Рассмотрим ∠АА1 С и ∠АС1 С.
Они оба прямые (АА1 , СС1 — высоты) и опираются на общую гипотенузу
АС.
Если два вписанных в окружность угла опираются на одну и ту же дугу, то они равны.
Значит, ∠АА1 С и ∠АС1 С являются вписанными, их точки лежат на окружности и около четырехугольника АА1 С1 С можно описать окружность.
2.
Рассмотрим ΔА1 ВС1 и Δ АВС.
Углы при вершине В равны как вертикальные.
∠СА1 С1 = ∠САС1 так как являются вписанными в окружность и опираются на общую дугу СС1.
Таким образом, ΔА1 ВС1 и Δ АВС подобны по двум углам.
Что и требовалось доказать.