В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА1 и CC1 . Докажите, что треугольники А1 ВС1 и АВС подобны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Задание 24 Вариант 5-2025

1.

Рассмотрим ∠АА1 С и ∠АС1 С.

Они оба прямые (АА1 , СС1 — высоты) и опираются на общую гипотенузу

АС.

Если два вписанных в окружность угла опираются на одну и ту же дугу, то они равны.

Значит, ∠АА1 С и ∠АС1 С являются вписанными, их точки лежат на окружности и около четырехугольника АА1 С1 С можно описать окружность.

2.

Рассмотрим ΔА1 ВС1 и Δ АВС.

Углы при вершине В равны как вертикальные.

∠СА1 С1 = ∠САС1 так как являются вписанными в окружность и опираются на общую дугу СС1.

Таким образом, ΔА1 ВС1 и Δ АВС подобны по двум углам.

Что и требовалось доказать.