В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1 . Докажите, что треугольники А1 С В1 С1 и АСВ подобны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1.
Рассмотрим ∠АА1 В и ∠ВВ1 А.
Они оба прямые (ВВ1 , АА1 — высоты) и опираются на общую гипотенузу
АВ.
Если два вписанных в окружность угла опираются на одну и ту же дугу, то они равны.
Значит, ∠АА1 В и ∠ВВ1 А являются вписанными, их точки лежат на окружности и около четырехугольника ВВ1 А1 А можно описать окружность.
2.
Рассмотрим ΔА1 С В1 и Δ АВС.
Углы при вершине С равны как вертикальные.
∠В1 А1 В = ∠ВА1В1 так как являются вписанными в окружность и опираются на общую дугу ВВ1.
Таким образом, Δ А1 С В1 С1 и Δ АСВ подобны по двум углам.
Что и требовалось доказать.