В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1 . Докажите, что треугольники А1 С В1 С1 и АСВ подобны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Задание 24 Вариант 4-2025

1.

Рассмотрим ∠АА1 В и ∠ВВ1 А.

Они оба прямые (ВВ1 , АА1 — высоты) и опираются на общую гипотенузу

АВ.

Если два вписанных в окружность угла опираются на одну и ту же дугу, то они равны.

Значит, ∠АА1 В и ∠ВВ1 А являются вписанными, их точки лежат на окружности и около четырехугольника ВВ1 А1 А можно описать окружность.

2.

Рассмотрим ΔА1 С В1 и Δ АВС.

Углы при вершине С равны как вертикальные.

∠В1 А1 В = ∠ВА1В1 так как являются вписанными в окружность и опираются на общую дугу ВВ1.

Таким образом, Δ А1 С В1 С1 и Δ АСВ подобны по двум углам.

Что и требовалось доказать.