На средней линии трапеции АВСD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и АЕD равна половине площади трапеции.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Площадь трапеции S = ½ (a+b) h
Площадь трапеции АВСD S = ½ (BC+AD) MK
Проведем через точку Е высоту КМ
Площадь треугольника равна = ½ аh
Площадь треугольника ВEC S1 = ½ BC* EM
Площадь треугольника AED S2 = ½ AD* EK
Так как т.E лежит на средней линии трапеции,
то ME = EK = ½ MK
подставляем в сумму площадей
треугольников вместо EM и EK ½ MK
S1 + S2 = ½ BC* ½ MK + ½ AD* ½ MK
Выносим за скобку общие множители
S1 + S2 = ½ * ½ MK (BC + AD)
½ MK (BC + AD) — площадь трапеции
Значит,
S1 + S2 =½ Sтрапеции ABCD
Утверждение доказано.