На средней линии трапеции АВСD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и АЕD равна половине площади трапеции.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Задание 24 Вариант 36-2025

Площадь трапеции S = ½ (a+b) h

Площадь трапеции АВСD S = ½ (BC+AD) MK

Проведем через точку Е высоту КМ

Площадь треугольника равна = ½ аh

Площадь треугольника ВEC S1 = ½ BC* EM

Площадь треугольника AED S2 = ½ AD* EK

Так как т.E лежит на средней линии трапеции,

то ME = EK = ½ MK

подставляем в сумму площадей

треугольников вместо EM и EK ½ MK

S1 + S2 = ½ BC* ½ MK + ½ AD* ½ MK

Выносим за скобку общие множители

S1 + S2 = ½ * ½ MK (BC + AD)

½ MK (BC + AD) — площадь трапеции

Значит,

S1 + S2 =½ Sтрапеции ABCD

Утверждение доказано.