Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции АВСD. Докажите, что площадь треугольника ЕСD равна половине площади трапеции.
РЕШЕНИЕ:
Доказать: SECD = ½ SABCD
Доказательство:
Продолжим стороны DE и CB до их пересечения в т. Р.
Рассмотрим треугольники DEA и BEP.
1. Углы при вершине E равны как вертикальные.
2. Угол ADE = углу BPE как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых DA, CР и секущей DР.
3. AE = BE — по условию.
Значит, треугольники DEA и BEP равны по 2-му признаку равенства треугольников.
А площадь трапеции АВСD = площади треугольника СDP.
Из равенства треугольников DEA и BEP следует равенство сторон DE и EР.
В треугольнике DCP CE — медиана, которая разделила треугольник DCР на 2 равных по площади треугольника: DCE и CEP (SCED = ½ DE*h, SCEP = ½ EP*h, где h — высота, опущенная из вершины C на основания DE и EР треугольников. Так как DE = EР, то и площади получаются равными).
Следовательно, SECD = ½ SDCP = ½ SАВСD
Что и требовалось доказать.